Formation au calcul et résolution
de problèmes au collège, lycées généraux et technologiques et lycées professionnels :
maîtrise des techniques opératoires et résolution de tâches complexes
2012-2013

«J'ai trouvé cette chose étonnante : on peut représenter par les nombres toutes sortes de vérités ».
 Leibniz

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• Synthèse des travaux de l'année
• Documents à télécharger
• Éléments de réflexions
• Bibliographie

Membres du groupe

Le groupe est accompagné par Alain Vesin IA-IPR de Mathématiques et Mohamed Bouchareb IEN-EG de Maths-Sciences.
Un professeur de collège : Nicolas Petiot
Un professeur de LP : Magalie Simon
Trois professeurs de lycée : Hervé Delangue ; Florence Beneteau ; Laurent Hivon

Synthèse des travaux de l'année

En complément du travail effectué l'année dernière qui portait plus spécifiquement à la résolution des équations du premier degré, l'équipe académique s'est penchée  cette année sur la place dans les progressions du Calcul dans la résolution de problèmes, au Collège, Lycée Professionnel et Lycée.

« L’intelligence du calcul nécessite un répertoire mémorisé » Lequel ?
Au-delà des exercices routiniers, une construction raisonnée des représentations qu'un élève se fait de la notion de « Calcul » s'appuie sur la résolution de problèmes qu'il a su ou non résoudre.
En particulier, la confrontation de différentes stratégies face à une même situation permet de mettre en valeurs les points forts et faibles de chacune d'elles. Le professeur peut alors mettre en concurrence différents modes de résolutions (tableur, formel...) de problèmes proches, ce qui permet de valoriser tel ou tel registre de Calcul.
De plus, l'élève peut alors se constituer tout au long du cycle un corpus de problèmes auquel ils pourra se référer pour ses choix futurs.
Ici, le répertoire de référence porte sur les situations et non sur les propriétés intrinsèques du registre de calcul.
Chacune des formes de calcul trouve une légitimité dans l'efficacité dont il a fait preuve lors de la résolution du problème.

On pourra par exemple se pencher sur le Projet Euler.

Constat fréquent : « Les élèves ne savent plus calculer »
Au-delà des difficultés techniques, abordées par exemple dans les travaux de l'année précédente, l'élève est souvent démuni au moment de faire des choix de stratégie de calcul : factoriser ou non ? Développer ou non ? Résoudre l'équation par fausse position ou utiliser une procédure experte ?
Les compétences se nourrissent. Loin de former une partition des activités de calcul, le calcul manuel et le calcul instrumenté ou plutôt les calculs instrumentés se complètent et se nourrissent mutuellement (cf Document Igen «Le calcul sous toutes ses formes au Collège et au Lycée»).

Le cas spécifique du Calcul formel
Certaines des activités proposées imposent une résolution s'appuyant sur l'usage d'un logiciel de calcul formel. A l'heure où ces lignes sont rédigées, de tels outils restent encore peu utilisés dans les classes et une telle « intégration » reste largement tributaire des outils mis à disposition des enseignants.
Nous avons fait le choix d'utiliser le module formel de GeoGebra (GIAC à ce jour).
Il n'est pas proposé de séances de prise en main de ce module, mais de l'imposer de fait comme outil de résolution, en s'appuyant sur des instructions de base telles que développer, factoriser.
L'élève doit donc en amont élaborer un scénario de résolution en anticipant les différentes manipulations qu'il aura à effectuer sur les expressions algébriques rencontrées. Cette démarche permet de développer le raisonnement par abduction
Cette démarche d'anticipation permet de développer les liens entre les représentations que l'élève donne par exemple à une manipulation algébrique (développement, factorisation) et une utilisation possible.

Documents à télécharger

Niveaux concernés

Nous nous sommes tenus aux niveaux suivants :
Troisième, Seconde générale et Technologique, Seconde Bac Pro, Première générale et Terminale S

Toutefois, la plupart des activités proposées sont utilisables dans d'autres séries et à d'autres niveaux.

Description
Le corpus d'activités proposées est formé de 18 activités élaborées autour de 7 situations différentes.
Plus précisément, une situation est déclinée en plusieurs activités, chacune identifiable par la ou les formes de calcul qu'elle implique lors de son traitement :

• calcul manuel ;

• instrumentés : algorithme, calcul formel, tableur, calculatrice ;

• calcul formel.

Télécharger tous les fichiers au format odt, avec les fichiers tableur et Geogebra utilisés.

Éléments de réflexions

Dans Didactique de la résolution de problèmes, François Pluvinage pose deux questions :

• L'activité de résolution de problème suppose-t-elle en soi l'acquisition de compétences et si oui, lesquelles ?

• Quel rôle les professeurs ont-ils à tenir par rapport à l'activité de résolution de problèmes et qu'ont_ils à apprendre à leurs élèves ?

Ainsi, nous donnons au mot « Problème » une signification très générale.
De même, nous ne cherchons pas à développer une typologie des modes de résolution, mais plutôt  à privilégier les associations, en privilégiant les modes de calculs utilisés (manuel, numérique, formel, algorithmique).

Chaque problème posé à la classe est donc instrumentalisé au sens de TROUCHE puisqu'il doit favoriser -sans exclusivité- la mise en œuvre de certaines formes de calcul. L'objectif n'est pas tant la résolution du problème que le développement de compétences de Calcul.

Dans son article, Pluvinage identifie alors trois phases lors de la résolution d'une problème :

• entrée dans le problème ;

• recherche d'une solution ;

• rédaction d'une réponse.

Selon lui, ces trois phases « déterminent des unités d'apprentissages autonomes ».
Dans le cadre du projet Traam, nous nous sommes attachés à identifier la place du Calcul dans chacune des ces trois phases.

Phase d'entrée dans le problème

Elle doit permettre à l'élève -seul ou en groupe- d'investir un mode de calcul qu'il va privilégier. Ce mode dépend de plusieurs critères dont :

• le niveau d'enseignement ;

• l'avancée dans la progression horizontale ;

• l'orchestration proposée par le professeur.

Les deux premiers points sont décrits dans le tableau synoptique, tandis que nous proposons quelques pistes concernant le troisième point dans le descriptif de l'activité.


Recherche d'une solution

La phase de recherche peut, dans le cas où l'élève n'aboutit pas, permettre de mettre en concurrence les différents type de calculs.
Lors de cette phase, l'élève fait appel à des connaissances de référence qu'il cherche à adapter et à développer.
Pour autant, il ne s'agit pas pour le professeur, de proposer des situations qui ressemblent à des situations déjà rencontrées, mais plutôt de faciliter des modifications les conceptions -au sens de Balacheff- qu'ont les élèves de chaque forme de calcul afin de les enrichir.

N'oublions pas enfin, que le problème doit rester « à la portée » des élèves, c'est à dire pour lesquels la première phase -liée à la dévolution- ne soit pas source de blocage.


Rédaction d'une réponse

Nous avons privilégié des scénarios faisant cohabiter plusieurs versions d'une même situation, chacune d'elle privilégiant une résolution par un (ou des) mode(s) de calcul spécifique.

Ainsi, l'exposé public dans la classe des différentes variantes et de leurs résolution, permet de confronter les différentes formes de calcul utilisées.
On peut ainsi imaginer des exposés sous forme d'affiches, en laissant aux élèves un temps libre d'appropriation des différentes productions, ce qui peut leur permettre d'améliorer leurs compétences en bénéficiant du travail de leurs camarades.

Bibliographie

Régine DOUADY           Jeux de cadres et dialectique outil-objet. La Pensée Sauvage, 1986

François PLUVINAGE    Didactique de la résolution de problème. IREM de Strasbourg

Luc TROUCHE              Calculatrices Symboliques. Transformer un outil en un instrument du travail mathématique :                                                 un problème didactique. La pensée sauvage, 2002. 

Nicolas BALACHEFF et Claire MARGOLINAS

                                   cK¢ Modèle de connaissances pour le calcul de situations didactiques

M. BOUCHAREB

M. SZCZYGIELSKI