Percolation

1. Document à distribuer ou à projeter. (Source : Antoine Allard, Pierre-André Noël, and Louis J. Dubé. Des ponts d’euler à la grippe aviaire. Accromαth, numéro 4 :24 à 29, Hiver - Printemps 2009. ISSN 1911-0197)
2. Questions sur le programme python (fichier en bas de page) : 

• Quelle est, dans ce programme la probabilité de contagion ?
• Combien d'arbres dans la forêt ?

Exécuter ce programme à plusieurs reprises en testant différentes valeurs pour la probabilité de contagion et en modifiant le nombre d'arbres.

Remarques :

• Dans le programme : on peut faire varier la probabilité de contagion, la taille de la forêt, mais aussi la position du départ de feu. La version prof contient la possibilité de générer des représentations graphiques (nécéssite matplotlib, pas toujours facile à installer et à utiliser)
• On peut envisager un prolongement en première avec l'explicitation des coefficients du polynôme donnant la probabilité de percolation en fonction de la probabilité de contagion (voir article accromaths).

Proposition de scénario d'usage :    

Séance 1 :

• Projeter ou distribuer l'article présentant une modélisation des incendies des forêts.
• Recueillir les impressions et questionner sur la pertinence du modèle.
• Manipulation par les élèves du programme python en faisant varier la probabilité de contagion et le nombre d’arbres dans la forêt.

Travail interséance : pour une probabilité de contagion et une taille de forêt données, calculer la fréquence d’arbres brûlés après l’incendie (« à la main » ou de façon algorithmique en modifiant le programme).

Séance 2 : 

• Recueillir le travail des élèves et présenter une représentation graphique (abscisse= probabilité, ordonnée=fréquence d’arbres brûlés)

Bilan : 

• Le nuage de points fait apparaître l'existence d'une probabilité à partir de laquelle, une grande partie, voire la totalité de la forêt sera détruite.
• Cette probabilité de dépend pas du nombre d’arbres dans la forêt.
• C’est un seuil de percolation.(voir article accromath).

Intentions du concepteur :    

• Utiliser un modèle mathématique et tester sa validité.
• Interroger le modèle au regard de la situation (pertinence des résultats obtenus, cohérence, domaine de validité...).

Place dans la progression, moment de l'étude :    

• Pour réinvestir les notions de programmation.
• Probabilité. Statistique. Echantillonnage.

Retour d'expérience :    

• L’utilisation et la modification de paramètres d’un programme python ne pose pas de problèmes particuliers.
• Donne du sens à la notion de fréquence et de probabilité.
• Le modèle est très interrogé par les élèves (débat dans la classe).