Distance entre trois villes

Proposition de scénario d'usage :
En classe. (20/25 min)

• Travail sur un premier triangle construit à la main en autonomie. 
• Mise en commun et émergence d’une première conjecture.

En salle informatique. (35/50 min)

• Vérification du premier modèle de solution.
• Selon le résultat, établissement d’un nouveau modèle.
• Distribution d’un gabarit modèle.
• Recherche sur le domaine de validité du gabarit.
• Application du modèle à la situation réelle.

Intentions du concepteur :
L’objectif du travail est de faire réfléchir les élèves sur la validité et la généralisation d’un modèle pertinent dans un cas précis.

Retour d'expérience :
Dans la première partie, les élèves se servent des points remarquables dans les triangles et, dans l’ensemble des séances faites, ils se mettent d’accord pour conjecturer que la solution est le centre de gravité.
Une aide peut être apportée sur le logiciel afin d’éviter une perte de temps.

L’essentiel de l’activité réside dans la mise en doute des solutions trouvées et/ou apportées.

I) Une première approche     (voir fiche annexe)
Après avoir étudié à la main notre première configuration, établissons un premier bilan :

• Les élèves travaillent à partir de la fiche annexe. Chaque élève possède la sienne et il essaye de déterminer la configuration qu’il estime optimale. Cette première partie a pour objectif d’aider l’élève à visualiser le problème et de créer une première hypothèse de réponse qui sera validée (dans un premier temps) par la classe.
• Après plusieurs essais dans la plupart des groupes, les élèves ont estimé que la meilleure configuration serait d’utiliser les médianes du triangle.
• Un bilan de classe est proposé par le professeur afin de déterminer « une solution au problème » suite à leurs essais.

II) Vers la solution optimale

Étude du problème avec un logiciel de géométrie dynamique.
On utilise la même configuration que précédemment. 
Les élèves doivent tester leur modèle, le plus souvent en affichant la longueur totale des segments construits pour relier les trois points.

• Les élèves confrontent ici leur premier modèle de façon empirique. Le logiciel permet le test de nombreuses configurations dans un temps relativement court. Le fichier peut être fourni presque complet si l’utilisation du logiciel n’est pas évaluée. L’intérêt réside dans la mise en question de leur solution et dans la construction d’une nouvelle. Le logiciel est ici un outil efficace. Si les élèves doivent construire l’ensemble des segments cela risque d’être chronophage et les difficultés techniques pourraient sortir les élèves de la tâche de modélisation.
• Les élèves se rendent rapidement compte que leur solution n’est pas optimale, cependant il est difficile pour eux d’établir une règle quant à la solution optimale. Le professeur peut, à ce moment-là, faire penser aux élèves de regarder les angles formés par l’intersection des trois segments. La condition des angles de 120° apparaîtra ainsi aisément.

Un bilan peut être fait après cette partie. Plusieurs points interpellent les élèves :

1. Le logiciel permet de faire de nombreux tests et de nombreuses vérifications.
2. Un modèle validé par un groupe de personne n’est pas forcément « juste » s’il n’est pas vérifié efficacement.
3. Une condition sur les angles peut influencer des longueurs. (ce point est important car les élèves peuvent considérer les longueurs et les angles comme deux objets totalement indépendants).

III) Ouvertures possibles

Ce bilan peut ouvrir le problème à de nouvelles questions pour les élèves :

1. Notre solution fonctionne-t-elle dans tous les triangles ?
2. En prenant une carte de France, on peut regarder trois villes qui sont proches de notre configuration, les routes sont-elles construites de façon optimale ?

La première question amène les élèves à utiliser un logiciel de géométrie dynamique de nouveau. Ici encore je conseille de préparer un fichier (prêt à l’emploi) afin que les élèves puissent tester la solution proposée sur différents triangles. L’objectif est de découvrir que la solution proposée n’est valable que si le triangle formé par les trois points ne possède pas d’angle supérieur à 120°. Avec cette question, on interroge le domaine de validité du modèle trouvé.

La deuxième question n’est plus une remise en cause théorique de la solution apportée. On place les élèves face à un cas concret. Notre théorie est-elle applicable ? Une fois trois ville trouvées, il est facile de débattre de la construction du réseau routier. Ici le retour au réel est intéressant car les élèves sont aisément capables de trouver de nombreux paramètres qui sont ignorés par l’exercice et qui explique l’impossibilité de mettre en place une telle solution.